HPGe 探测器 $\gamma$ 能谱刻度方法

能量刻度需要峰位，分辨率刻度需要峰宽，full-energy peak efficiency 需要扣除本底后的净峰面积。峰位和峰宽由拟合提取；对孤立峰，净面积可通过 ROI summation 求得。

作业 3.1 与分步实例 · 完整实例代码 · 补充资料

能量刻度

能量刻度应覆盖实际分析使用的能区。常用标准源包括 $^{133}$Ba、$^{137}$Cs、$^{60}$Co、$^{152}$Eu 和 $^{22}$Na；也可使用能量经过可靠确认的天然本底线。峰能量和 gamma emission probability 应来自源证书或经过评价的核数据表。

对每条刻度线，在未刻度谱中拟合峰中心 $ch_i$，再将 $(ch_i,E_i)$ 写入刻度关系。先从一次函数开始，

$$E(ch)=a_0+a_1ch,$$

只有残差随能量出现有规律的弯曲时才加入二次项，

$$E(ch)=a_0+a_1ch+a_2ch^2.$$

可用未参与拟合的已知峰检验刻度结果。

峰形与局部本底

用峰信号与本底之和描述峰附近的能谱：

$$f(x)=s(x)+b(x).$$

孤立且近似对称的峰可先采用 Gaussian 与线性本底：

$$ s(x)=H\exp\!\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad b(x)=b_0+b_1x. $$

观察峰两侧的本底，选择不含邻峰的 sidebands，估计本底参数初值；再同时拟合峰与本底，提取 $\mu$ 和 $\sigma$。

线性本底不能描述所有谱形。若峰两侧有明显台阶，且线性模型的 residual 留下系统结构，可考虑增加

$$ b(x)=b_0+b_1x+ \frac{S}{2}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right). $$

这里的 $\operatorname{erfc}$ 项描述平滑的本底台阶，不是另一个峰；峰本身的低能 tail 需要相应的峰形模型。应根据谱形与 residual 判断是否需要这些进阶模型，作业 3.1 的基本实例仍使用线性本底。

峰位用于能量刻度后，检查能量残差

$$\Delta E_i=E_{i,\mathrm{ref}}-E_{\mathrm{cal}}(ch_i).$$

含 step 的本底模型示例：蓝线是总模型，红线是 Gaussian 信号，绿线是本底。下方 residual 用于检查模型对局部能谱的描述。

峰宽与能量分辨率

峰拟合得到的是未刻度坐标上的 $\sigma_{ch}$。应先用刻度曲线的局部斜率换算：

$$ \sigma_E=\left|\frac{dE}{dch}\right|\sigma_{ch}, \qquad FWHM=2\sqrt{2\ln2}\,\sigma_E\approx2.355\sigma_E. $$

HPGe 探测器常用下面的经验分辨率模型：

$$FWHM(E)=\sqrt{A+BE+CE^2}.$$

$A$、$BE$、$CE^2$ 分别概括电子学噪声、载流子统计和电荷收集等贡献；近似独立的贡献按方差相加。当 $BE$ 占主导时，$\sigma_E$ 和 FWHM 正比于 $\sqrt{E}$。在有限能区内，完整曲线可能看起来接近直线。是否需要全部三项可结合 residual 判断。

Full-energy peak efficiency

在能量 $E_\gamma$ 处，full-energy peak efficiency 为

$$ \varepsilon(E_\gamma)= \frac{N_{\mathrm{peak}}} {A(t)\,P_\gamma\,t_{\mathrm{live}}}, \qquad A(t)=A_0\,2^{-(t-t_0)/T_{1/2}}. $$

$A_0$ 是参考日期 $t_0$ 的源活度，$A(t)$ 是测量时的活度；$P_\gamma$ 是每次衰变发射该 gamma ray 的概率，不是活度。$t_{\mathrm{live}}$ 是 live time，不能直接用未经 dead-time 修正的记录时长代替。

孤立峰：ROI summation

由能量刻度确定峰的位置，由 $\mathrm{FWHM}(E)$ 选择 ROI 和左右 sidebands。设 ROI 计数为 $G$，左右 sideband 计数为 $L$、$R$，各区间分别含 $n$、$m_L$、$m_R$ 个 bins。在窗口关于峰对称、局部本底近似线性时，

$$ B=\frac{n}{2}\left(\frac{L}{m_L}+\frac{R}{m_R}\right), \qquad N_{\mathrm{peak}}=G-B. $$

若三个区域互不重叠且计数服从 Poisson statistics，则

$$ u^2(N_{\mathrm{peak}})=G+ \left(\frac{n}{2m_L}\right)^2L+ \left(\frac{n}{2m_R}\right)^2R. $$

净面积的误差同时包含 ROI 计数涨落和本底估计的涨落。作业 3.1 对孤立峰采用这一方法，不为面积计算重复拟合峰位。

拟合面积与 covariance

峰重叠或需要分离不同信号成分时，可从拟合模型提取各峰面积。对等宽 histogram，若 Gaussian 参数 $H$ 为峰高、bin 宽为 $w$，则

$$N_{\mathrm{peak}}=\frac{H\sigma\sqrt{2\pi}}{w}.$$

面积误差由拟合参数的 covariance matrix 传播得到，需要同时使用 $H$、$\sigma$ 的误差和 $\operatorname{Cov}(H,\sigma)$，不能只保留两个独立误差项。若信号不是 Gaussian，应积分所采用的信号函数，本底不计入面积。

这与 ROI summation 是两种面积提取方法；比较两种结果时，应注意所用峰形和本底模型的差异。

拟合面积的示意图：橙色区域为总模型减去拟合本底后的信号分量积分。ROI summation 则直接累加数据计数并扣除 sidebands 估计的本底。

效率曲线

在限定能区内，效率可用低阶经验函数描述。令 $u=\ln(E/E_{\rm ref})$，其中 $E_{\rm ref}$ 是固定参考能量，则

$$ \ln\varepsilon(E)=p_0+p_1u+p_2u^2. $$

跨越低能效率转折的能区时，可采用作业 3.1给出的含低能衰减项的经验函数。通过相对 residual 检查曲线；作业中的效率结果使用线性横、纵坐标显示。

源活度的误差会使同一源的效率点相关。精密效率刻度还需要考虑 dead time、true-coincidence summing、源几何和自吸收等影响。缺少这些修正信息时，结果称为 apparent efficiency。

给定能量处的曲线误差由拟合参数的 covariance 传播得到，方法见加权拟合与拟合结果的误差传播。

核数据可查阅 DDEP/LNHB recommended data；ROOT 拟合选项参见 ROOT histogram fitting manual。